质数是所有数字的基础，就像元素周期表中的化学元素一样，是所有化学物质的基础。质数包含了数字的所有奥秘，所以数学研究者对质数情有独钟。

素数

素数也叫质数，是指除了1和它本身之外没有其他因子的自然数，如2、3、5、7、11、13。

古希腊数学家欧几里德(约公元前330年-公元前275年)最早研究素数，他在《几何原本》中通过归谬法给出了“有无穷个素数”的经典证明。

证明想法:

假设有最大的素数P，将所有已知的素数相乘，再加1，得到m: 。

M=2×3×5×7×11×……×P+1，

显然，M不可能被任何已知的素数整除，所以M可能是一个素数，也可能存在一个大于P但小于M的素数因子；无论哪种情况，都说明存在大于p的素数，与假设相矛盾，所以素数是无穷的。

质数是构成整数的基础，所有的整数都可以用质数来表示，如下:

所以质数包含了整数的所有奥秘，整数分解是解决整数奥秘的方法之一，因为整数分解后只剩下质因数。

素数的应用

在现实生活中，数字的分解是很多网络加密的基础。对我们来说，将两个已知的数相乘很容易，但分解一个大数却很难。利用整数的这种非对称特性，密码学家巧妙地设计了加密和解密的数学原理，比如RSA非对称加密算法，就是基于大数的分解。

换句话说，一旦一个算法可以快速分解一个大数，RSA加密方法就会失效，但目前为止还没有这样高效的算法。

素数的未解之谜

数学家们围绕质数发现了很多定律，很多都是猜想，有些几百年来没有人证明。这些猜想是数学的圣杯。谁能证明其中一个，谁就一定会名垂青史。

(1)哥德巴赫猜想

猜测内容:任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和，简称“1+1=2”。

哥德巴赫在1742年提出，到现在已经270多年了。最好的成果是中国数学家陈景润证明的“1+2”，即任何足够大的偶数都可以写成一个素数和不超过两个素数的乘积之和。

(2)孪生素数猜想

差2的素数对叫做孪生素数，比如5和7，11和13。猜想说有无限对孪生素数。

目前最好的成果是美籍华人数学家张在2013年提出了一个方法，证明存在无穷多个素数对，它们的差小于某个数M，当时张证明了M = 7000万，一旦完成M=2，就解决了孪生素数猜想。目前m已经减到200多了。

(3)ABC猜想

这个猜想描述了三个互质整数A，B，C(满足a+b=c)的素因子之间的关系。是数论中非常奇妙的猜想，也是非常强的数学猜想。一旦证明了ABC猜想，证明费马大定理只需要五句话。

ABC猜想的最新消息是，2012年，日本数学家望月新一宣布完成了证明。他的证明过程有500多页，包括他定义的很多符号和算法，以至于至今没有人能对他的证明给出合理的判断。

(4)黎曼猜想

素数有无穷多个，但素数的分布极不规则。由于素数在整数中的特殊性，数学家们一直对素数有着特殊的兴趣，许多优秀的数学家都倾注了毕生精力来研究素数的分布规律。

素数分布规律的第一次突破是大数学家高斯在1792年(15岁)发现了素数定理。素数定理说素数分布和积分函数是渐近的，但高斯无法证明素数定理，成为19世纪最著名的数学问题。直到1896年，素数定理才被别人证明。

素数定理是素数分布的一个渐近公式，但是随着数字的增加，素数定理和素数分布的绝对误差会趋于无穷大，所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年，高斯的学生黎曼在一篇论文中推广了欧拉100多年前发现的一个公式，进而推导出一个精确的素数分布公式π(x)。这个公式是否成立，取决于一个猜想是否正确——黎曼猜想。

从黎曼猜想可以看出，素数的分布取决于黎曼函数的非平凡零分布。因为黎曼函数的所有非平凡零点都对每个素数有贡献，所以证明黎曼猜想相当困难。

2018年9月，89岁的英国数学家迈克尔·阿蒂亚(Michael Atia)声称证明了黎曼猜想，引起了全世界的关注。可惜他的证明不成立，他本人也于2019年1月11日去世。