对于任何圆，其面积s等于圆周率π和半径平方r 2的乘积。换句话说，任何圆的面积与其半径的平方之比都是同一个常数——π。那么，这个结论是经过数学严格证明的，还是一种数学直觉？其实圆面积公式(S =πr ^ 2)在数学上是可以严格证明的，中国古代和古希腊的数学家都证明过。圆面积公式的证明方法很多。这里有几个简单的例子。

（1）极限法一

如果一个圆被分成n等份，那么它被拼接成如下四边形:

当n趋近于无穷大，也就是把圆分成无限等份，那么四边形就会变成矩形。很明显，这个矩形的长度是半圆的周长(πr)，宽度是圆的半径(r)，这个矩形的面积等于圆的面积，那么圆的面积的公式可以得到如下:S=πr？r=πr^2。

但要完成这个证明，首先需要证明周长公式(C=2πr)。通过相似三角形原理，用几何方法很容易证明圆的周长与直径之比相等，这个常数叫圆周率。

（2）极限法二

将圆分成n等份，并连接每个扇形中半径与圆的交点。假设每个扇区的圆心角为2θ，则2θ = 2π/n。

看其中一个三角形OAB，根据三角函数，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面积为:

S△OAB=1/2 AB OC=r^2sinθcosθ

当n趋于无穷大时，圆的面积可以表示为:

S=lim(n→+∞)n S△OAB

根据极限原理，可以计算出S =πr ^ 2。

（3）积分法一

严格来说，这也是一种极限方法，但这里圆的面积是严格按照圆的方程(x ^ 2+y ^ 2 = r ^ 2)计算的:

（4）积分法二

如果把圆分成无数个厚度为dr的细环，那么每个环的面积就是2 π r Dr，对其积分，我们可以得到:

总之，圆的面积与半径的平方之比是π，这是经过严格数学证明的，不是经验公式。